Квадрат числа

Квадрат некого числа — это число, умноженное само на себя.

Свойства

$x^{2}=x\cdot x$

$x^{2}=2x\cdot {\frac {x}{2}}$

$x^{2}=x^{2}$

Теорема о квадрате числа

Утверждение

Квадрат любого числа равен ±1.

Доказательство

Возьмём некое число $k$. А теперь возьмём такие числа $x$ и $y$, чтобы соблюдалось равенство $x=y={\frac {k^{2}}{4}}$.
Известно, что $x=y$, значит, ${\sqrt {x}}={\sqrt {y}}$. Вычтем второе равенство из первого: $x-{\sqrt {x}}=y-{\sqrt {y}}$. Перенесём некоторые члены равенства из одной стороны в другую с заменой знака: $x-y={\sqrt {x}}-{\sqrt {y}}$. Представим выражение $x-y$ в виде разности квадратов и перепишем равенство в таком виде: $({\sqrt {x}}+{\sqrt {y}})({\sqrt {x}}-{\sqrt {y}})={\sqrt {x}}-{\sqrt {y}}$. Поделим получившееся равенство на ${\sqrt {x}}-{\sqrt {y}}$ и получим новое равенство: ${\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}=1$. А так как ${\sqrt {x}}={\sqrt {y}}$, то $2{\sqrt {x}}=1$. Возведём в квадрат: $4x=1$, следственно, $x={\frac {1}{4}}$. Однако известно, что $x={\frac {k^{2}}{4}}$, значит, ${\frac {1}{4}}={\frac {k^{2}}{4}}$ или $k^{2}=\pm 1$, что требовалось доказать.

См. также

• Параллелепипед числа (частный случай — Куб числа)
• Овал числа (частный случай — Круг числа)
• Пирамида числа
• Тор числа