Половина числа

Две половины числа

В древних времён существует математическая проблема числа и его половины. Сейчас мы её решим.

Теорема о половине числа

Утверждение

Половина числа равна самому числу.

Доказательства

Возьмём два числа $a$ и $b$, такие, чтобы $a=b$. Умножим данное равенство на $a$: $a^2=ab$, вычтем $b^2$: $a^2-b^2=ab-b^2$. Левую строну представим как разность квадратов, а в правой вынесем общий множитель за скобку: $(a+b)(a-b)=b(a-b)$. Поделим равенство на $a-b$, получим: $a+b=b$. а так как $a=b$, то его можно представить в виде $a+a=a$ или $2a=a$. Поделим на $2$: $a=\frac{a}{2}$, что требовалось доказать.

Рассмотрим колесо, состоящее из двух жёстко закреплённых половинок: внутренная радиуса R, внешная радиуса 2R. Поставим колесо на бордюр (внутренняя часть колеса лежит на бордюре, внешняя — на земле). Прокатим колесо на один полный оборот. Сколько оно проехало? Внутренняя часть проехала $2 \pi R$, внешняя — $4 \pi R$. Но поскольку половинки колеса закреплены между собой, получаем $2 \pi R == 4 \pi R$, следовательно, половина числа равна целому числу.