Устойчивость Сферического коня в вакууме

Материал из Абсурдопедии
Перейти к:навигация, поиск

Понятие устойчивости сферического коня в вакууме связано с его способностью возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели его из этого состояния.

Понятие устойчивости можно распространить и на случай движения сферического коня:

  • Невозмущённое движение — движение, при котором конь, молча, двигается в вакууме, и соответственно его не возмущает.
  • Возмущённое движение — движение, когда конь двигаясь, очень сильно возмущается сам и таким поведением возмущает окружающий вакуум.

Содержание

Определение устойчивости сферического коня в вакууме по М. Я. Ляпунову[править]

Невозмущенное движение сферического коня (при Δxi∞=0) называется устойчивым по отношению к переменным вакуума, если при всяком заданном положительном числе , как бы мало оно ни было, можно выбрать другое положительное число () так, что для всех возмущений Δxi0 вакуума, удовлетворяющих условию:

.

Возмущённое движение будет для времени удовлетворять неравенству массы сферического коня и вакуума:

.

Тут  — коэффициенты, уравновешивающие размерности величин коня и вакуума. Если с течением времени , сферический конь в вакууме не падает, то система асимптотически устойчива.

Понятие о характеристическом уравнении сферического коня с вакуумом[править]

Было сказано, что устойчивость системы сферического коня и вакуума связана с природой самого коня, а не с тем, как внешние источники движущих сил (задание, помехи) заставляют его перемещаться через вакуум по системе координат. Очевидно, что невозможно описать цепь преобразования энергии коня не учитывая источников вакуума. Поэтому в правой части ДУ описывающих систему устойчивости сферического коня и вакуума, всегда будут присутствовать источники движущих сил (вспомните, как записываются уравнения по II закону Кюхельбекера). Однако если их обнулить, то система ДУ не потеряет смысла. После отключения источников в любой линейной цепи преобразования энергии возникнет переходный процесс коня через вакуум, обусловленный энергией, которую накопил пассивный сферический конь, пока находился в статическом состоянии. Именно он определит, будет ли система устойчивой. И именно эта система ДУ, в которой обнулены величины источников движущих сил, называется характеристической. Если система характеристических ДУ решена относительно одной из координат, то она называется характеристическим уравнением сферического вакуумного коня.

Условие устойчивости сферического коня в вакууме. Типы границы устойчивости.[править]

Устойчивость коня зависит от корней характеристического уравнения, поскольку его решение есть сумма экспоненциальных функций вакуума:

.

Рассмотрим варианты свободного движения сферического коня от ненулевого начального положения вакуума:

4-я.JPG

Заметим, что , где: и  — новые постоянные интегрирования вакуума,  — показатель затухания бега коня,  — круговая частота затухающих колебаний при падении не уравновешенного сферического коня.

Таким образом, для затухания переходного процесса вакуума и устойчивости сферического коня в линейной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы вещественные части коня были отрицательными, и лежали слева от мнимой оси плоскости корней параллельных сфер вакуума относительно основной части коня и обратно пропорциональной биссектрисе угла поворота сфероидной части, при дестабилизирующей функции вакуума. Система сферического коня и вакуума будет находиться на границе устойчивости при наличии:

  • Нулевого коня,
  • Пары чисто мнимых коней,
  • Бесконечного коня, или бесконечного вакуума.

5-я.JPG

Необходимое условие устойчивости сферического коня в вакууме, достаточное только для систем 1-ого и 2-ого порядков вакуума.[править]

Чтобы корни ХУ сферического коня имели отрицательные вещественные части, необходимо чтобы все его коэффициенты были положительны. Однако это условие является достаточным только для систем 1-ого и 2-ого порядков вакуума. Док-во:

.

ХУ коня представим в виде:

, где: , , … , — кони.

В устойчивой системе коня и вакуума, вещественные части коня отрицательны. Подставим таких коней: s1 = -α1; s2 = -α2; s34 = -α3±jβ … :

a0(s+α1)(s+α2)(s+α3-jβ)(s+α3+jβ) … = a0(s+α1)(s+α2)((s+α3)2+β2) … = 0

Если раскрыть скобки и вернутся к стандартному виду сферического коня, то все коэффициенты уравнения получатся положительными, а следовательно, конь по крайней мере не будет падать на бок.

Критерий устойчивости сферического коня Гурвица в вакууме[править]

Чтобы все кони ХУ: a0 s n + a1 s n-1 + … + an-1 s + an = 0, имели отрицательные вещественные части, необходимо, при a0 > 0 выполнение условия: все n определителей коня Гурвица получаемые из квадратной матрицы коэффициентов должны быть положительны на переднюю плоскость угла биссектрисы начала координат.

Матрицы, для расчёта определителей, получаются из исходной последовательным исключением последних столбца и строки.

a3	a5	a7	…	0	0	
a0	a2	a4	a6	…	0	0
0	a1	a3	a5	…	0	0
0	a0	a2	a4	…	0	0
…	…	…	…	…	…	…
0	0	0	0	…	an-1	0
0	0	0	0	…	an-2	an


Условие нахождения системы сферического коня и вакуума на границе устойчивости — Δn = 0. Но Δn = an Δ(n-1) = 0, следовательно, если an = 0, то наблюдается апериодическая граница устойчивости (нулевой корень коня — астатическая система), а если Δ(n-1) = 0, то — колебательная граница устойчивости коня в вакууме (комплексные корни коня).

Критерий устойчивости сферического коня Михайлова в вакууме[править]

Чтобы все корни сферического коня ХУ: a0 s n + a1 s n-1 + … + an-1 s + an = 0 , имели отрицательные вещественные части, необходимо чтобы после подстановки частоты в соответствующий характеристический полином D(s) полное приращение сферического коня и вакуума для его фазы при изменении ω от 0 до ∞ составляло nπ/2, где n — степень полинома D(s). При этом характеристический полином коня опишет в комплексной плоскости вакуума кривую — «сферический конь Михайлова».

Док-во: Представим D(s) в виде разложения на линейные множители коня и вакуума и выполним подстановку s=jω:

D(jω) = a0 (jω - s1) (jω - s2) … (jω - sn) , где: s1, s2, …, sn — корни коня ХУ.

Скобки идентичны, поэтому рассмотрим одну из них.

Возможны четыре основных варианта:

6-я.JPG

Пусть si=α, — вещественный положительный корень коня. Тогда сфероида коня соответствующего линейного множителя (jω — α) при изменении ω от 0 до ∞ повернётся в вакууме на угол -π/2.

7-я.JPG

Пусть si=-α, — вещественный отрицательный корень коня. Тогда сфероида коня соответствующего линейного множителя (jω + α) при изменении ω от 0 до ∞ повернётся в вакууме на угол π/2.

8-я.JPG

Пусть si; i+1=α±jβ, — сопряжённые корни сферического коня с положительной вещественной частью вакуума. Тогда сферические кони соответствующих линейных множителей (jω — α — jβ)(jω — α + jβ) при изменении ω вакуума от 0 до ∞ повернутся на углы -π/2+γ, и -π/2-γ. Вектор, соответствующий произведению двух сомножителей сферических коней, повернётся в вакууме на угол равный -π.

9-я.JPG

Пусть si; i+1=-α±jβ, — сопряжённые корни сферического коня с отрицательной вещественной частью вакуума. Тогда сферические кони соответствующих линейных множителей (jω + α — jβ)(jω + α + jβ) при изменении ω вакуума от 0 до ∞ повернутся на углы π/2-γ, и π/2+γ. Вектор, соответствующий произведению двух сомножителей сферических коней, повернётся в вакууме на угол равный π.

10-я.JPG

Резюме: Если ХУ сферического коня имеет l корней с положительной вещественной частью, то угол поворота D(jω) коня в вакууме, при изменении ω вакуума от 0 до ∞ составит:

ψ = - l π/2 + (n - l) π/2 = n π/2 - l π , где: n — порядок ХУ сферического коня в пространстве вакуума.

11-я.JPG

Свойства сферического коня Михайлова в вакууме[править]

  1. Сферический конь в вакууме всегда спиралевиден.
  2. При ω=0, будет ψ=0. Следовательно, движение коня в вакууме начинается с точки на оси «+1».
  3. Поскольку при ω→∞ K(jω)→0 (нет безынерционных систем), сферический конь уходит в бесконечность.
  4. При чётном n, сферический конь стремится к ∞ параллельно оси «+1»;
  5. При нечётном n, сферический конь стремится к ∞ параллельно оси «+j».

Определение типа границы устойчивости в вакууме, по виду сферического коня Михайлова[править]

12-я.JPG

  1. Астатизм первого порядка — «апериодическая» граница устойчивости.
  2. Астатизм второго порядка — «апериодическая» граница устойчивости.
  3. «Колебательная» граница устойчивости.
  4. Граница устойчивости типа «бесконечный конь».

Критерий устойчивости сферического коня Найквиста в вакууме[править]

Чтобы система конь-вакуум в замкнутом состоянии была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы при изменении ω от -∞ до +∞ сферический конь разомкнутой системы W(jω) (АФХ), поворачиваясь вокруг начала координат по часовой стрелке, охватил точку (-1, j0) столько раз, сколько корней в правой полуплоскости содержит знаменатель W(jω).

Примечания[править]

  1. Если корней в правой полуплоскости нет, то сферический конь W(jω) не должен охватить точку (-1, j0) вакуума.
  2. Неустойчивая система конь-вакуум в разомкнутом состоянии может быть устойчивой в замкнутом состоянии. И наоборот.
  3. Сферический конь W(jω) в вакууме всегда начинается на оси «+1». Но при порядке астатизма равном r, по причине устремления W(jω) к ∞ (при ω→0), видимая часть коня появляется только в квадранте r, отсчитанном по часовой стрелке.

Док-во:

6-я.JPG

Рассмотрим ПФ для статического сферического коня сдвинутую на величину (-1, j0): W1(s) = 1+ W(s) = Q(s)/Q(s) + R(s)/Q(s) = D(s)/Q(s), в ней D(s) — характеристический полином коня, Q(s) пусть не имеет корней в правой полуплоскости (пусть W(s) устойчива).

Рассмотрим угол поворота сферического коня в вакууме W1(s). Он равен φ = φ1(D(jω)) — φ2(Q(jω)). Поскольку степень полинома R(s) всегда меньше степени полинома Q(s), то степени полиномов числителя и знаменателя ПФ W1(s) равны. Следовательно, при изменении ω от -∞ до +∞ имеем: φ1(D(jω))=nπ (по критерию коня Михайлова), φ2(Q(jω))=nπ (по предположению об отсутствии корней в правой полуплоскости у полинома Q(s)). То есть φ=nπ-nπ=0. Другими словами для устойчивости сферического коня в вакууме, в замкнутом состоянии W1(jω) не должна охватывать начала координат, а функция W(jω) — точку (-1, j0).

7-я.JPG

Если знаменатель будет содержать l корней в положительной полуплоскости вакуума, то угол поворота сферического коня W(jω) должен составить величину:φ = φ1(D(jω)) — φ2(Q(jω)) = n π — [(n — l) π — l π] = l 2π , что и требовалось доказать.

Свойства сферического коня Найквиста в вакууме[править]

  1. Сферический конь Найквиста в вакууме спиралевиден.
  2. При ω→∞ сферический конь W(jω)→0, так как нет безынерционных систем.
  3. Сферический конь в статических системах начинается из точки на вещественной оси.
  4. Для положительных и отрицательных частот сферический конь зеркально симметричен относительно оси «+1».
  5. Наличие корней на границе устойчивости приводит к устремлению сферического коня в ∞ и приращению его фазы на −180°.

13-я.JPG

Примеры устойчивости сферического коня Найквиста в статическом вакууме (ωО[0…+∞))[править]

14-я.JPG

  1. Конь на колебательной границе устойчивости.
  2. Абсолютно устойчивый конь (система конь-вакуум устойчива при любом уменьшении K).
  3. Неустойчивая система сферический конь — вакуум.
  4. Условно устойчивая система сферический конь — вакуум (только при изменении K в некотором диапазоне).

Примеры устойчивости сферических коней Найквиста в астатическом вакууме и вакууме с чисто мнимыми конями[править]

15-я.JPG

  1. Устойчивая система сферический конь — вакуум с астатизмом вакуума первого порядка.
  2. Устойчивая система сферический конь — вакуум с астатизмом вакуума второго порядка.
  3. Устойчивая система сферический конь — вакуум с астатизмом вакуума третьего порядка.
  4. Неустойчивая система сферический конь — вакуум с консервативным звеном.
  5. Устойчивая система сферический конь — вакуум с консервативным звеном (коррекция выполнена фазовращающим звеном).

Определение устойчивости сферического коня в вакууме по логарифмическим частотным характеристикам[править]

Для определения устойчивости сферического коня в вакууме по критерию Найквиста можно строить не АФХ, а ЛАЧХ & ЛФЧХ разомкнутой системы сферический конь — вакуум.

Чтобы замкнутая система сферический конь — вакуум была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы сдвиг фазы на частоте единичного усиления разомкнутой системы сферический конь — вакуум W(jω) не достигал значения −180°.

Если система сферический конь — вакуум условно устойчивая, то при модулях вакуума больших единицы, фазовый сдвиг сферического коня может достигать значения −180° чётное число раз.

Построение областей устойчивости сферического коня в вакууме — D-разбиение[править]

Пусть имеем произвольную передаточную функцию систем сферический конь — вакуум :

16-я.JPG

И требуется оценить влияние разброса параметров на устойчивость сферического коня в вакууме.

Выделим два параметра (K и Ti) (конь и вакуум), совместное влияние которых на устойчивость следует оценить в целом. Остальные параметры зафиксируем. Воспользуемся алгоритмом:

17-я.JPG

Итог итерационного алгоритма - область устойчивости сферического коня в вакууме (D-разбиение) ограниченная осями и графиком (уменьшение K (коня) и одной из постоянных времени объекта вакуума, как правило, положительно сказывается на устойчивости системы сферический конь — вакуум в целом).

При заданной частоте вращения сферического коня существует только одна координата (K (конь), Ti (вакуум)), которой будет соответствовать положение системы сферический конь — вакуум на границе устойчивости.

Наиболее удобно в итерационном алгоритме для системы устойчивости сферического коня любого порядка использовать критерий устойчивости сферического коня Михайлова, тогда уравнение границы:

D(jω) = 1+ W(jω) = 1 + R(jω)/Q(jω) = R(jω) + Q(jω) = 0, то есть K (1 + T3(jω)) … + jω(1 + T1(jω)) (1+T2(jω)) … = 0

Однако следует учесть, что все вышеописанное справедливо только в римановском пространстве,в обычном даартовом пространстве все наоборот.