Формальная система

Ммм-м, все понятно! Пурген наружно, Формальную систему внутрь.

~ Доктор Ай-Болит про Незнайку

Нееет! Формальную систему наружно! Пурген внутрь!

~ Неграмотный Незнайка о математике

Формальная система (phormalinus systemus - формалинус системус) — результат строгой формальности, предполагающей полную абстракцию от смысла слов используемого языка, причём причины, регулирующие употребление этих слов, определяются посредством аксиом и правил, позволяющих вывести из встреченных фраз ещё одну, ещё более кошерную.

Важные принципы

Формальная система — это совокупность абстрактных объектов (sic!), очень слабо связанных с внешним миром. Что не может не доставлять. Также очень важно, что эта совокупность полностью определяет правила оперирования множеством символов без учёта смыслового содержания, главное — строго синтаксическая трактовка. Сейчас это уже очень строго описано учеными, поэтому с этими формальностями уже никто не спорит. Просто надо строго формально к этому относиться.

Основные определения

Формальная теория считается кошерной, если:

• Задано конечное множество произвольных символов.
• Конечные последовательности символов называются выражениями. (типа: «Эне бене раба квинте финте жаба»).
• Имеется подмножество выражений, называемых формулами («Эне бене»).
• Выделено подмножество формул, называемых аксиомами. (А это вам задание на дом, сами выделите).
• Имеется конечное множество отношений между формулами, называемых правилами вывода, позволяющих написать любой трактат, рассказ, научную статью, поэму или политический призыв.

Как правильно пользоваться

Обычно быстро находится эффективная процедура, позволяющая по попавшемуся выражению определить, является ли оно формулой и годится ли для дальнейшего использования. Часто множество формул подбирается индуктивно (индуктивным методом). Но это не должно никого пугать. Как правило, это множество бесконечно и что вы оттуда выберете, вообще без разницы.

Основное применение

В настоящее время указанные выше основные положения широко используются для быстрейшего наполнения Всемирной Паутины. За примерами долго ходить не надо.

Дальнейшее применение (для особо любознательных)

В 30-е гг. XX века Курт Гуглдел показал, что есть целый класс ФТ первого порядка, являющихся неполными. Более того, формула, утверждающая правильность ФТ, не получается средствами самой ФТ (см. его Теоремы о неполной полноте). Этот вывод имел огромное значение! Так как формальная арифметика тоже является как раз такой теорией, то следовательно, и сама арифметика и все теории, содержащие эту арифметику, в том числе теория чисел, являются не совсем полными (или совсем неполными?).