Математический анализ

Математический анализ — форма математического мракобесия, почитаемая его адептами одним из столпов математики (наряду с алгеброй и геометрией), которые всячески стараются внедрить его во все области человеческих познаний о мире, заходя в том числе на территорию вышеупомянутых форм математического мышления, что порождает немало конфликтов.

Характерным отличием математического анализа является полное отсутствие рациональности, а также доказательство очевидного.

История[править]

Согласно учению об анализе, история его представляет луч $(-\infty ;t]$ , где $t$ — текущий момент времени. Таким образом, история математического анализа непрерывна и не имеет начала, постоянно изменяя правую границу.

На луче можно выбрать убывающие последовательности имён, связанных с математическим анализом, и фактов, доказанных данными людьми. Тем не менее, в соответствии с каноническим методом последовательность $A$ имён и последовательность $B$ фактов строятся таким образом, что факт всегда оказывается дальше от настоящего момента времени, чем сопоставленное ему имя. Более строго, присвоение фактам имён представляет собой инъективное отображение $f$ из множества всех членов последовательности $B$ в множество всех членов последовательности $A$ по правилу $f(b_{k})=a_{k+1}$ . Возможно построение и биективного отображения $g$ такого, что $g(b_{k})=a_{k}$ , т. е. каждому факту ставится в соответствие имя того, кто его и открыл. Такое отображение, однако, не применяется в матанализе.

Хотя история математического анализа началась бесконечное количество времени назад, первые значительные шаги для становления его в современном виде были предприняты в 1678 году, когда Исаак Ньютон ещё не открыл закон всемирного тяготения. В ту пору он, вопреки распространённому мнению, вовсе не придумал бином (бином ещё до него придумал Бернулли, имя Ньютона же было присвоено в силу причин, описанных выше), а спокойно прогуливался по саду, созерцая яблони, с одной из которых спустя несколько лет упадёт знаменитое яблоко. Во время одной из таких прогулок ему в голову пришла мысль о том, что яблоко могло бы стать идеальным вечным двигателем: если яблоко поделить пополам и использовать одну из половин как источник энергии, то останется ещё ${\frac {1}{2}}$ , от которой затем можно отделить ещё половину и так на каждом $n$ -ом шаге использовать как источник энергии ${\frac {1}{2^{n}}}$ часть яблока.

Впоследствии Ньютон пересмотрел свои взгляды по данному вопросу и понял, что хоть ещё со времён Архимеда и известно, что множество натуральных чисел неограниченно, всё-таки в какой-то момент яблоко будет делить невозможно в силу квантовости мира. Но было уже поздно: анализ стремительно начал формироваться как отдельное учение без оглядки на опровержение Ньютоном собственных слов и принятие им физики.

Наибольшего расцвета математический анализ достиг в эпоху Вейерштрасса (он же Кантор, Больцано, Коши, Кун и далее по индукции). Он доказал бесконечное несчётное множество теорем, составляющих фундамент математического анализа. Столь же бесконечным и несчётным было множество всех имён, под которыми, скрывая свою истинную личность, он публиковал свои труды. В обывательском жаргоне все теоремы в связи с этим именуются по названию самых известных рациональных точек: теорема Кантора-Вейерштрасса-Больцано-Коши-Куна.

В наши дни развитие не столь ощутимо, но тем не менее захватывает все области математики.

Известные задачи[править]

Нахождение площади квадрата[править]

Ещё в древней Греции площадь квадрата со стороной $a$ научились находить как $a^{2}$ , что очевидно.

С развитием математического анализа стало очевидно, что всё, что очевидно, можно ещё и доказать. Ещё в ньютоновские времена вскоре после интегрального доказательства формулы $S=\pi {r^{2}}$ аналитикам пришла в голову мысль, что из неё можно вывести формулу и для площади квадрата. Однако это оказалось затруднительным из-за необходимости решить при этом задачу о квадратуре круга и обратную к ней, чего в то время делать не умели.

Спустя некоторое время было предложено решение $\int _{0}^{a}adx$ , однако при вычислении данного интеграла была допущена ошибка: вычислявший ошибочно посчитал вместо определённого интеграла по $x$ неопределённый по $a$ , вследствие чего вместо правильного ${\Bigl .}ax{\Bigr |}_{0}^{a}$ , что и равно $a^{2}$ , получилось ${\frac {a^{2}}{2}}$ . До начала XX века, когда эта ошибка была обнаружена, это было основной причиной конфликта с геометрами.

Большая теорема Кантора-Вейерштрасса-Больцано-Коши-Куна[править]

Наиболее известная из теорем. Формулируется следующим образом: Если что-то делить бесконечно, то оно обязательно будет иметь предел.

Была доказана трижды: первый раз — ещё в первобытном обществе, когда после долгого дележа чего бы то ни было между собой людям наконец это надоедало и они когда-нибудь да решали положить этому конец. Второе доказательство — физическое, оно же метод Ньютона: то самое «деление яблока» на бесконечное количество долей.

Правильное с точки зрения анализа доказательство придумано во времена, предшествовавшие Вейерштрассу: если взять отрезок $[a;b]$ и поделить его пополам, получится новый отрезок. Далее, по индукции, то же самое можно проделывать с каждым следующим отрезком, коих образуется в итоге бесконечное число. Покуда они будут образовываться, они будут подходить к одной точке $c$ , но в силу бесконечности никогда к ней не подойдут, а значит $c$ — предел.

0 ≠ 1[править]

По мере развития приложений алгебры (в частности, комплексных чисел) стали появляться новые варианты доказательства утверждения 0=1.

В инженерии это доказывалось это следующим образом: $i^{2}=-1$ , следовательно, ${\sqrt {-1}}$ существует. Тогда справедливо равенство $-1={\sqrt {-1}}^{2}={\sqrt {(-1)^{2}}}={\sqrt {1}}=1$ . Из этого следовало $0=2$ , а затем и $0=1$ путём сокращения на 2.

Однако сообщество аналитиков выступило резко против такого подхода. Оно заявило, что поскольку $0=2$ , сокращать на 2 нельзя. Затем им было высказано утверждение, что $i$ вовсе не равно ${\sqrt {-1}}$ , а значит, доказательство неверно. В конце концов адепты анализа окончательно впали в ересь, начав убеждать всех, что 0≠1 и всеобщего равенства не существует. Так аналитики вступили в конфликт сначала с инженерами, затем с алгебраистами, а потом и со всем остальным человеческим знанием о мире.

Известные случаи применения в жизни[править]

Поиски настоящего Деда Мороза[править]

Однажды в самый канун Нового Года в одной из квартир в Долгопрудном случилось невероятное происшествие: к проживавшему там пятилетнему мальчику Вите заявились сразу три Деда Мороза. Весь город пребывал в смятении, пытаясь объяснить столь невероятное явление. Благо, совершенно неподалёку находилась деревушка, где обитали бежавшие от суетной Москвы аналитики. Они быстро прибыли на место событий и сообразили, что как минимум два из Дедов Морозов — ненастоящие и прибыли лишь с целью нелегально установить браузер Амиго на компьютер отца мальчика.

Для того, чтобы вычислить, кто из Дедов Морозов настоящий, аналитики предложили им решить следующую задачу: для всякого натурального $n$ должно выполняться условие, в соответствии с которым за ${\frac {1}{2^{n}}}$ часа до полуночи у мальчика должно быть ровно $n$ конфет, данных Дедом Морозом.

Через некоторое время ими было замечено, что один из Дедов Морозов, вместо того, чтобы давать за каждые ${\frac {1}{2^{n}}}$ часа до Нового Года мальчику 1 конфету, увеличивая тем самым число конфет до $n$ , отбирает у него $n-1$ конфету и даёт $n$ других. Так был вычислен первый мошенник: последовательность $a_{n}=n$ , должна расходиться, он же пытался свести её к нулю, поскольку все конфеты на каком-то шаге да были отобраны. Два других Деда Мороза выполняли свою задачу верно и почти повергли аналитиков в недоумение, пока один из них не обнаружил свою конечность: у него закончились конфеты. Это оказался отец Вити, который в скором времени после разоблачения вызвал полицию и передал в её руки жулика, пытавшегося совершать незаконные операции на его компьютере.

Очередь на кассе[править]

Другой случай применения такой: в одном из магазинов в выходной день в один момент как-то по различным причинам перестали работать все кассы, кроме одной: разумеется, на ней тотчас столпилась столь огромная очередь, что она встать в ней было абсолютно некуда.

На помощь всем подоспел один из сторонников математического анализа, закупавшийся тут же. Он предложил каждому сдвинуться на одно место вперёд, ведь покупателей — натуральное число, а множество натуральных чисел не ограничено сверху.

Результатом стал пролом стены в магазине, выход очереди на свободное место на улице, попадание людей из очереди в другие магазины через проломленные же стены. Что будет, если место на земном шаре закончится и очередь опоясает его весь — неизвестно. Существуют три варианта:

очередь изменит свою траекторию и начнёт заполнять бесконечные промежутки внутри себя;
очередь направится в бесконечный космос;
неаналитический вариант — очередь выручат специалисты по дискретным областям математики и/или информатики.