0=1

Художественный метод доказательства

Малая теорема Ферма (ноль равняется единице; число ноль равняется числу один) — это один из случаев всеобщего равенства. Доказывается многими — похожими и отличающимися — методами.

Математические методы

Арифметические методы

Метод умножения

Вариант 1.

Справедливо равенство $0\cdot0=0\cdot1$. Поделим это выражение на $0$. Получим:

$\frac{0}{0}\cdot0=\frac{0}{0}\cdot1 \,$

отсюда выходит, что $0=1$.

Вариант 2. Упрощённый.

Дано: $0\cdot0=0\cdot1$. Так как $0=0$, то $0=1$, тем же можно доказать всеобщее равенство всех чисел нулю.

Метод преобразования дробей

Вариант 1. Вынесение общего множителя у дробей.

Справедливо равенство

$\frac{4}{4}=\frac{5}{5}$

Вынесем общий множитель:

$4\cdot\frac{1}{1}=5\cdot\frac{1}{1}$

Сократим: $4=5$. Вычтем 4 и получим искомое равенство.

Вариант 2. Преобразование равенства.

Допустим, что есть некое равенство $a-b=0$. А теперь поделим каждую сторону это равенства на $a-b$. Получим:

$\frac{a-b}{a-b}=\frac{0}{a-b} \,$

или $1=0$.

Вариант 3. Деление на ноль.

Справедливо выражение

$\frac{a}{a}=1 \,$

значит

$\frac{0}{0}=1 \,$

но

$\frac{0}{0}=x$ ($x$ — любое число).

Возможно, $x=0$, в таком случае, $0=1$.

Метод двоичной арифметики

В двоичной арифметике число $0$ можно изобразить или как $0:0$, или как $1:0$. Однако, это по-прежнему одно и то же число. Сравнивая значения знаковых битов, следует вывод, что они могут быть только равны: $0 = 1$.

Алгебраические методы

Метод степеней

Вариант 1. Возведение в степень.

Следует обратить внимание, что

(1) $a^0=1 \,$

однако

(2) $0^a=0$

Подставим $a=0$. Следовательно формуле (2), $0^0=0$, но, исходя из формулы (1), $0^0=1$. Таким образом, $0=1$, что и требовалось доказать.

Вариант 2. Степени единицы.

Как известно, $1^a=1$, таким образом, $1^1=1^0=1$. Но, если равны основания степеней и их значения, то равны и показатели, то есть $0=1$, что и требовалось доказать.

Метод логарифмирования

Согласно формулам, $\log_{a}a=1$ и $\log_{a}1=0$. Подставим $a=1$. Получим: из первой формулы $\log_{1}1=1$, но из второй формулы $\log_{1}1=0$. Это значит, что $0=1$, что требовалось доказать.

Алгебраический метод

Метод, подобный предложенному в статье «Всеобщее равенство». Рассмотрим равенство

$a=b+c$

Умножим обе его части на $a-b$. Получим:

$a^2-ab=ab+ac-b^2-bc \,$

то есть

$a^2-ab-ac=ab-b^2-bc$

Разложим на множители, получим

$a(a-b-c)=b(a-b-c) \,$

сокращаем, получаем $a=b$. То есть, подставив $a=1$, $b=0$, получим требуемое равенство. Впрочем, этот метод годится для доказательства равенства всех чисел.

Метод составления уравнения

Возьмём $x=1$. Это то же самое, что и $x-1=0$. Добавим $x$, получим: $2x-1=x$. Вычитаем единицу: $2x-2=x-1$. Выносим общий множитель за скобку: $2(x-1)=x-1$, и полученное выражение делим на $x-1$. Получаем: $2=1$. Вычитая из этого равенства единицу, получаем искомое выражение: $1=0$. Что и следовало доказать.

Метод сравнения

Возьмем два произвольных положительных равных числа $a$ и $b$ и напишем для них следующие очевидные нестрогие неравенства: $a \ge -b$, $b \ge -b$. Перемножив оба эти неравенства почленно, получим неравенство $ab \ge b^2$, а после его деления на $b$, что вполне законно, так как по условию $b>0$, придём к выводу, что $a \ge b$

Записав же два других столь же бесспорных неравенства $a \ge -a$, $b \ge -a$. Действуя аналогично предыдущему получим, что $ab \ge a^2$, а разделив на $a$ (так как $a>0$), придём к неравенству $b \ge a$.

Итак, $a \ge b \ge a$, что возможно только при $a=b$. Если $a=4$, $b=5$, то получим, что $4=5$, откуда, отняв от обеих частей равенства $4$, получим $0=1$.

Рис. 1. Равные треугольники

Метод констант

Два неоспоримых равенства:

$0=const$

$1=const$

А если равны правые части выражений, значит равны и левые. Следовательно:

$0=1$

Геометрические методы

Метод треугольника

Вариант 1 (по рис. 1).

Рассмотрим два треугольника, представленных на рисунке. Площадь первого треугольника равна $60$ клеточкам, а площадь второго треугольника, составленного из тех же фигур, что и первый треугольник, равна $58$ клеточкам (две чёрные клетки внутри вырезаны). Получается, что

$58=60$

Отнимем от обеих частей равенства $58$ и разделим на $2$, получим

$\frac{58-58}{2}=\frac{60-58}{2} \,$

то есть $0=1$, что и требовалось доказать.

Рис. 2. Чертёж

Вариант 2 (по рис. 2).

Докажем сначала, что все треугольники — равносторонние. Рассмотрим произвольный $\Delta ABC$. Проведем биссектрису угла $B$ и серединный перпендикуляр к стороне $AC$; точку их пересечения назовём $O$. Опустим из неё перпендикуляры $EO$ и $OF$ на стороны $AB$ и $BC$ соответственно.

Так как $DO$ одновременно и высота, и медиана $\Delta AOC$, то он равнобедренный и $AO=OC$. Так как $BO$ — биссектриса, то, из равенства $\Delta EBO$ и $\Delta OBF$ (откуда $EB=BF$), $EO=OF$. Следовательно, $\Delta AEO=\Delta FCO$, то есть $AE=FC$. Отсюда, так как $AB=AE+EB$ и $BC=BF+FC$, $AB=BC$. Проведя такое же рассуждение для основания не $AC$, а, например, $AB$, получим, что $BC=CA$.

Из этого следует, что все треугольники на свете — равносторонние.

Теперь рассмотрим прямоугольный $\Delta ABC$ с гипотенузой $AB$. По доказанному выше, $AB=BC=AC=a$, а по теореме Пифагора, $AB^2=BC^2+AC^2$. Имеем: $a^2=2a^2$ или $1=2$. Отнимем от обеих частей равенства $1$, получим $0=1$, что и требовалось доказать.

Неправильный нольугольник

Правильный нольугольник

Метод нольугольника

То, что $0=1$, можно убедится, рассмотрев геометрическую фигуру нольугольник, у которой одна сторона и ноль углов. Учитывая, что в любом многоугольнике каждая сторона ограничена двумя вершинами, то есть углами, и из любого угла выходят две стороны, получаем, что число углов должно быть равно число сторон. То есть $0=1$.

Тригонометрический метод

Вариант 1

Исходное утверждение	Следовательно	Отсюда	А значит
$\sin0=\sin\pi$	$0=\pi$	$0\pi=1\pi$	$0=1$, что и требовалось доказать
$\mathrm{tg}\,0=\mathrm{tg}\,\pi$	$0=\pi$	$0\pi=1\pi$	$0=1$, что и требовалось доказать
$\mathrm{cosec}\,0=\mathrm{cosec}\,\pi$	$0=\pi$	$0\pi=1\pi$	$0=1$, что и требовалось доказать

Вариант 2

Исходное утверждение	Следовательно	Отсюда	А значит
$\cos\frac{\pi}{2}=\cos\frac{3\pi}{2}$	$\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{2}$	$3=2$	$0=1$, что и требовалось доказать
$\sec\frac{\pi}{2}=\sec\frac{3\pi}{2}$	$\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{2}$	$3=2$	$0=1$, что и требовалось доказать
$\mathrm{ctg}\,\frac{\pi}{2}=\mathrm{ctg}\,\frac{3\pi}{2}$	$\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{2}$	$3=2$	$0=1$, что и требовалось доказать

Вариант 3 (сокращённый)

Исходное утверждение	Следовательно	А значит
$\sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}$	$\sin0=\cos0$	$0=1$, что и требовалось доказать
$\sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}$	$\sin\frac{\pi}{2}=\cos\frac{\pi}{2}$	$0=1$, что и требовалось доказать

Комплексное исчисление

Иррациональный метод

Докажем сначала, что $1=-1$. Понятно, что $\sqrt{-1}=\sqrt{-1}$. Представим части равенства так:

$-1=\frac{-1}{1}$

и $-1=\frac{1}{-1}$

Получим

$\sqrt {\frac{-1}{1}}=\sqrt {\frac{1}{-1}}$

Известно, что корень из дроби есть корень из числителя делённый на корень из знаменателя. Поэтому

$\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt1}=\frac{\sqrt1}{\sqrt{-1}}$

По свойству пропорции

$\sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1}=\sqrt1\cdot\sqrt1$

Следовательно, $-1=1$. Прибавив к обеим частям равенства $1$ и разделив их на $2$, получим требуемое равенство $0=1$.

Канадский метод

Вариант 1. Основной.

Метод, предложенный канадскими учёными. Понятно, что

$\frac{-1}{1}=\frac{1}{-1}$

Значит,

$\sqrt {\frac{-1}{1}} = \sqrt {\frac{1}{-1}}$

Таким образом,

$\frac{\sqrt {-1}}{\sqrt1}=\frac{\sqrt1}{\sqrt {-1}}$

Так как $\sqrt {-1}=i$, запишем равенство следующим образом:

$\frac{i}{1}=\frac{1}{i}$

Разделим обе части на $2$, получим

$\frac{i}{2}=\frac{1}{2i}$

Далее, прибавим к обеим частям равенства выражение $\frac{3}{2i}$, получим

$\frac{i}{2}+\frac{3}{2i}=\frac{1}{2i}+\frac{3}{2i}$.

Теперь умножим обе части на $i$, получим

$i(\frac{i}{2}+\frac{3}{2i})=i(\frac{1}{2i}+\frac{3}{2i})$

раскроем скобки:

$\frac{i^2}{2}+\frac{3i}{2i}=\frac{i}{2i}+\frac{3i}{2i}$

Так как $i^2=-1$, получаем

$\frac{-1}{2}+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}$.

Посчитав, получим, что $1=2$, а отняв $1$, найдём требуемое равенство: $0=1$.

Вариант 2. Упрощённый.

Возьмём равенство из предыдущего варианта:

$\frac{i}{1}=\frac{1}{i}$

По правилу пропорций,

$i\cdot i=1\cdot1$

то есть $-1=1$. Из последнего вытекает, что $0=2$. Делим на 2 и получаем искомое равенство $0=1$.

Метод комплексных логарифмов

Используя формулу Эйлера, вычисляем:

$e^{\pi i} = \cos(\pi) + i \sin(\pi) = -1 + 0i = -1 \,$

и

$e^{3\pi i} = \cos(3\pi) + i \sin(3\pi) = -1 + 0i = -1 \,$

поэтому

$e^{\pi i} = e^{3\pi i}$

Берём логарифм

$\ln(e^{\pi i}) = \ln(e^{3\pi i}) \,$

И получаем

$\pi i = {3\pi i} \,$

Делим обе части на $\pi i$:

$1 = 3$

Отсюда:

$0 = 1$

Математический анализ

Метод производных

Вариант 1.

Как известно, $x'=1$ при любом $x$. Но, подставив вместо $x$ любое число, получаем, что производная становится равной $0$. Следственно, $0=1$.

Вариант 2.

Известно, что $1'=0$ и $0'=0$. То есть $0'=1'$, отсюда следует, что $0=1$.

Метод интегрирования

Проинтегрируем функцию $f(x)=\frac{1}{x}$:

$\int f(x)dx=\int \frac{dx}{x}=\frac{1}{x}\cdot x - \int \frac{-1}{x^2}\cdot x dx=1+\int \frac{dx}{x}$.

Итак, $0=1$.

Метод бесконечных рядов

Рассмотрим сумму бесконечного ряда $S=1+1-1+1-1+1-1...$. Представим его в виде

$S=1+(1-1)+(1-1)+(1-1)...=1+0+0+0...=1$.

Теперь представим S теми же слагаемыми, но начиная с последнего. Имеем

$S=-1+1-1+1-1+1-1…=-1+(1-1)+(1-1)+(1-1)...=-1+0+0+0...=-1$

то есть $S=1=-1$, значит $1=-1$, откуда, как указывалось выше, вытекает, что $1=0$.

Сокрад наблюдает за убегающей единицей

Метод убегающей единицы

$\begin{align}1&=1+0+0+0+0+0+\cdots\\ &=0+1+0+0+0+0+\cdots\\ &=0+0+1+0+0+0+\cdots\\ &=0+0+0+1+0+0+\cdots\\ &=0+0+0+0+1+0+\cdots\\ &=0+0+0+0+0+1+\cdots\\ &\vdots\\ &=0+0+0+0+0+0+\cdots\\ &=0\end{align}$

Метод Крамера

Рассмотрим систему линейных уравнений

$\left\{ \begin{matrix} c_1x_1 + c_1x_2 + \cdots + c_1x_n = c_1\\ c_2x_1 + c_2x_2 + \cdots + c_2x_n = c_2\\ \vdots \\ c_nx_1 + c_nx_2 + \cdots + c_nx_n = c_n \end{matrix}\right.$

Разделив первое уравнение на c₁, получим: x₁ + x₂ + · · + x_n = 1. Теперь решим систему методом Крамера.

$\begin{bmatrix} c_1 & c_1 & c_1 & \dots\\ c_2 & c_2 & c_2 & \dots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\\ c_n & c_n & c_n & \dots \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_1\\ c_2\\ \vdots\\ c_n \end{bmatrix}$

Поскольку каждый столбец матрицы коэффицентов равен вектору свободных членов:

$A_i = A \implies |A_i| = |A| \implies {|A_i| \over |A|} = 1 = x_i$ для всех i.

Подставляя в уравнение x₁ + x₂ + · · · + x_n = 1, мы получаем:

$\sum_{i=1}^n 1 = 1$.

То есть:

$n=1$

Теория чисел

Факториальный метод

Обычно факториалы разных чисел имеют разное значение. Однако $0!=1$ и $1!=1$, то есть $0!=1!$. Ссылаясь на ранее написанное, можно сказать, что $0=1$.

Обобщённые цепные дроби

Мы знаем, что $1=\frac{2}{3-1}$. Заменим 1 в знаменателе на правую часть данного неравенства и повторим так бесконечное число раз: $1=\frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac {2}{3-...}}}$

Но проделывая тоже самое с равенством $2=\frac{2}{3-2}$, получаем, что $2=\frac{2}{3-\frac {2}{3-\frac{2}{3-...}}}$.

Полученные цепные дроби равны, следовательно $1=2$. Вычитая из обоих частей $1$, получаем, что $0=1$. Quod erat demonstrandum.

Метод смены системы счисления

Возьмем $02$, поменяем систему счисления на двоичную, получим $10$. Значит $02=10$ и в частности $0=1$ и $2=0$.
Проверка: $0=1$. Умножаем на 2.
$0=2$. От смены приравниваемых истинность не меняется, поэтому:
$2=0$. Получили второй результат.
Доказано с двойной точностью.

Математическая логика

Метод булевой алгебры

По общепринятой версии, $1^0=1$, но в булевой алгебре $1^0=0$. Очевидно, что $0=1$.

Софизм

Известно, что если половина одного числа равна половине другого числа, то эти числа равны. Но полупустое ведро - это то же самое, что полуполное. Следовательно, пустое ведро равно полному. Значит, $0=1$.

0 ничего (слева) = 1 ничего (справа)

Индуктивный метод

0 ничего = 1 ничего.
0 копеек = 1 копейка.
0 баллов = «кол» = 1 балл
0 микробов = 1 микроб.

Так как эти частные случаи выполняются, значит, по индукции получаем:
0 чего угодно = 1 чего угодно.
или
$0=1$.

Адедуктивный метод

$0=1$. Умножим обе части на 0. Получим $0=0$, что очевидно верно. Как известно из основ логики, если из нашего утверждения следует верное утверждение, значит оно верно. Доказано.

Обобщённо-математический метод

В математике все постулируется. Значит, весь вопрос в том, что постулировать — $0\ne1$ или $0=1$. Выбираем $0=1$. Доказано.

Физические методы

Метод крупных величин

Рассмотрим выражение $10^{100} = 10^{100}$. Так как $10^{100}$ значительно больше 1, то единицей всегда можно пренебречь. Следовательно, прибавив 1, мы существенно ничего не изменим. Получаем $10^{100} = 10^{100}+1$. Отнимем $10^{100}$, получим требуемое $0 = 1$.

Метод ядерного взрыва

Вариант 1. Аккуратно соединим два ($2$) куска плутония докритической массы. Счастливо избежав гибели, останемся с пустыми руками ($0$). Таким образом, $2 = 0$. Разделив обе части уравнения на два получаем $1=0$, или $0=1$

Вариант 2. Запустим ядрёную бомбу с помощью межгалактичмежконтинентальной ракеты ($1$). С большой вероятностью она будет сбита системой ПВО ($1$). В результате удачи не останется ничего ($0$). Если же ракета-перехватчик промажет, то ядрёная бомба взорвётся по ударе о землю и останется одна ракета перехватчик ($1$).

Таким образом, либо $2=0$, либо $2=1$. Разделив на два первое утверждение и отняв единицу от обоих частей второго получаем $1=0$, или же $0=1$

Астрономический метод

Рассмотрим вселенную до и после большого взрыва. Опишем состояние до как $0$, после — как $1$. Так как, очевидно, вселенная не изменилась, то получаем $0 = 1$

Метод программирования

Общепрограммерский метод

Первый элемент массива часто обозначается нулевым индексом. Значит, первый — это нулевой. Отсюда выходит, что один равно нулю, а ноль одному: $0=1$.

Пример программы:

#include <stdio.h>
 
void main()
{
  int* a = new int[10]; //массив
  int n = 1; //номер элемента массива
  int i = 0; //счётчик
 
  for(; i < 10; i++) //пробегая весь массив
  {
    a[i] = n; //присваиваем текущему элементу его номер
    n++; //увеличиваем номер
  }
 
  printf("Элемент массива с номером 0 (a[0]) имеет номер %d", a[0]);
  //Выведет:
  //Элемент массива с номером 0 (a[0]) имеет номер 1
  //Следовательно, 0 = 1
}

Метод С++

См. код: $a=0;$ $a=a+1;$. Подставляя $a$, получаем, что $0=1$, что и требовалось доказать.

Упрощённый метод С++

Возьмём строку из предыдущего метода: $a=a+1;$. Вычтем $a$, и получим искомое равенство $0=1$.

Метод очевидного

Очевидно, что $0=1$. Доказано.

Юридический метод

Пока ещё никто не доказал, что $0\ne1$. Значит, необходимо считать, что $0=1$

Общенаучные методы

Вики-метод

В любом вики-проекте 3 тильды дают только подпись, 5 тильд — только время, а 4 — подпись и время. Отсюда $3+5=4$; $8=4$. Разделим обе части на 4 ($2=1$) и вычтем по единице ($1=0$). По свойству коммутативности $0=1$, что и требовалось доказать.

Метод для ленивых

Если верить материалам статьи «Всеобщее равенство (математика)», все числа равны между собой и равны $0$, значит, и $0=1$ в частности.

Метод для умных ленивых

Исходя из определения всеобщего равенства, берём числовое равенство $2=\sqrt{2}$. Как известно, $-log_{2}log_{2}2=0$, а $-log_{2}log_{2}\sqrt{2}=1$, следственно, $0=1$, что и требовалось доказать.

Антинаучные методы

Метод от противного

Предположим, что $0=1$ — это неверное равенство.
Ну и зачем мы это все столько времени доказывали? Незачем. Противно.
Значит, быть этого не может.
Но факт или есть, или нет. Пришли к противоречию.
Итак, $0=1$ — верное равенство.

Очевидно неправильный

Так же называется методом добавления утверждения.

Рассмотрим два утверждения:
1. $0=1$
2. Оба утверждения ложны.

Предположим, что второе утверждение истинно. Тогда первое и второе ложно. Пришли к противоречию. Значит второе ложно и хотя бы одно утверждение из двух истинно.
Мы уже доказали, что второе не может быть истинным, значит истинно первое — $0=1$. Что и требовалось доказать.

Художественный метод

См. иллюстрацию в заголовке статьи.

См. также

• Всеобщее равенство
• Список чисел

Понравилась статья?
Кинь ссылку на неё в свой блог, поделись с друзьями.

---
Материал из Абсурдопедии (http://absurdopedia.net ).